Leibniz e Newton e o Cálculo Infinitesimal
Rápida idéia do Cálculo Diferencial de Leibniz
Seu Cálculo não era baseado na noção de taxa ( derivada ) mas na de diferencial.
Em essência:
- procurava interpretar a taxa dy/dx como o quociente de duas quantidades
infinitesimais, dy e dx, que chamava de diferenciais
- deu regras para calcular facilmente dy:
- y = u + v -> dy = du + dv
- y = uv -> dy = u dv + v du
- etc
Rápida idéia do Cálculo Integral de Newton
Seu Cálculo Integral era chamado de Cálculo de Fluentes.
Inspirado por Napier
e Cavalieri, fundamentou suas idéias em
duas noções básicas: a de fluente e a de
fluxão . Em suas próprias palavras:
Vejo as grandezas não como formadas de partes infinitamente pequenas mas como
descritas por movimento contínuo:
linhas ( descritas pelo movimento contínuo de pontos ), superfícies (descritas
pelo movimento contínuo de linhas), ângulos ( descritos pelo movimento contínuo
rotacional de seus lados ) e o tempo por um fluxo contínuo.
O que determina o valor de uma grandeza é a velocidade de seu crescimento
Em termos mais objetivos: os fluentes eram as grandezas
geradas e as
fluxões as velocidades de movimento dessas grandezas.
Ou seja: o fluente corresponde a integral e a fluxão a derivada.
Para Newton, o Cálculo tinha dois problemas básicos:
- problema das fluxões
dada relação entre fluentes: f(x,y)=0, achar a relação y'/x' entre as respectivas
fluxões
- problema dos fluentes
dada relações entre fluxões, como F(x', y', x ,y ) = 0, achar os fluentes.
Note que um exemplo é a relação y'/x' = f(x) que corresponde a resolver a
equação dy/dx = f(x) ( ie corresponde a um problema de primitivação ). Um
outro exemplo é a relação y'/x' = f(x,y) que corresponde a resolver a equação
diferencial dy/dx = f(x,y).
A técnica que Newton emprega para resolver esses problemas é a do desenvolvimento
em séries de potências.
Vejamos como Newton interpretava os resultados de Barrow, ie como via o que nós
hoje chamamos de Teorema ( ou Teoremas ) Fundamental do Cálculo Integral:
- a fluxão de uma área variável é a ordenada que a gera
- o fluente de uma ordenada variável é a área gerada pela ordenada em seu movimento
Consequentemente, para fazer a quadratura de uma área de ordenadas dadas por
y = y(x), basta achar a primitiva Y de y ,ie achar Y tal que a fluxão de Y seja y.
Em notação moderna: achar Y tal que dY/dx = y.
exemplo
Para achar a primitiva Y de y = 1/(x+1) ele, como sempre fazia, usa séries:
escrevendo:
Y = a xm + b xm+1 +...
temos:
Y' = m a xm-1 + (m + 1) b xm + ...
e daí como
1/(x+1)= 1 - x + x2 - x3 + ...
obtemos, desde a igualdade Y' = 1/(x+1), que a=1, b= -1/2, etc.
Ou seja, obtemos
Y = x - x2/2 + x3 /3 + ... = ln ( 1 + x ).
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