Desejo descobrir a função f que expressa a dependência y = f( x ) entre x e y. A experiência mostra que, normalmente, é dificil de conseguirmos fazer isso diretamente. Assim sendo, o CI usa uma abordagem indireta em duas etapas:

• etapa diferencial: Descobre-se relação entre a variação infinitesimal dx de x e a variação infinitesimal dy de y
• etapa integral: obtém-se a expressão analítica de y = f( x ) a partir da relação entre dy e dx.

O sucesso dessa estratégia depende dos seguintes fatos:

• como dx e dy são versões infinitesimais de x e y, na busca da expressão de dy em termos de dx podemos desprezar infinitésimos de ordem superior

• a existência de uma regra, descoberta por Barrow e chamada de Teorema Fundamental do Cálculo Integral, que permite-nos passar de dy/dx para y = y( x ).

As propriedades locais de y = y( x ) podem ser descobertas estudando o que ocorre com y ao x variar infinitesimalmente. Com efeito, por exemplo, Fermat mostrou que nos pontos de máximo ou mínimo de y = y( x ) as variações dx produzem uma dy=0; consequentemente, esses pontos podem ser determinados através da resolução da equação dy/dx = 0. Equação essa que é muito fácil de obtermos.
A exploração da interpretação geométrica da taxa dy/dx permite o estudo de muitas outras propriedades locais de y = y( x ): crescimento, convexidade, etc bem como a obtenção de aproximações locais.
E quanto as propriedades globais de y = y( x ), tais como valor médio de y ao longo de um intervalo de variação de x?
Para isso, o CI da preferência ao uso da chamada integral de y = y( x ), a qual é o resultado do acúmulo ou soma das parcelas infinitesimais y( x ) dx ao longo de um intervalo de variação de x. Essa noção de acúmulo de infinitesimais é extremamente fértil, tanto em aplicações estritamente matemáticas ( áreas, volumes, valores médios, etc ) como físicas ( trabalho, pressão, etc).

Com a divulgação dos escritos matemáticos de Archimedes na Europa, em várias edições impressas c. 1550, é retomado com enorme ímpeto o estudo dos métodos infinitesimais. De início, a preocupação é apenas a de continuar a tradição arquimediana aplicando seus métodos na determinação de áreas, volumes e centros de gravidade: Comandino, Maurolico, Luca de Valerio e Stevin (1570-1585) são os primeiros nomes que se destacam.
Mas logo o espírito renascentista se faz notar através de Galileo c.1620 . Esse, ao contrário dos já citados, procurou ir além dos gregos e não mais limitar-se a estudar as grandezas de natureza geométrica da Astronomia, Óptica e Estática. Ele é a primeira grande inteligência a estudar quantitativamente áreas nunca abordadas pelos gregos clássicos: Cinemática, Dinâmica, Elasticidade, etc.

O enorme prestígio de Galileo possibilitou que todos vissem que os métodos infinitesimais eram os instrumentos adequados para o estudo dessas novas disciplinas. Os 50 anos seguintes são dedicados tanto ao aperfeiçoamento desses métodos (por discípulos de Galileo e muitos outros matemáticos italianos, franceses e ingleses) como na sua aplicação ao desenvolvimento das áreas citadas acima e da Mecânica dos Fluídos.

Assim, quando já eram passados 100 anos desde Comandino, Maurolico e etc e surgiu Newton, esse já encontrou uma ampla base matemática e física para a composição do primeiro grande monumento celebrando o poder do Cálculo Infinitesimal: o Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicado em 1687 e com o qual Newton conseguia unificar a Mecânica do Céu e a da Terra.

As gerações de matemáticos que vieram após Newton em grande maioria seguiram seus passos, procurando novos resultados tanto nos aspectos técnicos do Cálculo como em suas aplicações a aspectos teóricos da Mecânica. Mas , já no sec 1700, apareceram oportunidades para um uso mais prático do Cálculo na análise estática, dinâmica e termodinâmica das máquinas industriais, das quais a cada dia eram solicitadas maior potência e velocidade. Tudo passou a ser objeto de cálculo e análise: da forma adequada dos dentes das engrenagens à melhoria da eficiência das máquinas a vapor.
De lá para cá o CI não cessou de se desenvolver teoricamente e de ter novas aplicações, sendo hoje um instrumento matemático absolutamente imprescindível para todo cientista e engenheiro.

• A Álgebra Literal
  A notação algébrica é um excelente veículo para produzirmos e expressarmos os resultados do CI. Com efeito, hoje é até difícil imaginarmos a existência do CI sem a notação algébrica. Contudo, é uma das grandes coincidências da História da Matemática que o surgimento do CI tenha sido contemporâneo à introdução da notação literal em Álgebra.
  Sempre é uma grande surpresa, para quem se inicia no estudo da História da Matemática, saber que a arte da resolução das equações (o que hoje chamamos de Álgebra Clássica) por dezenas de séculos adotou o método e notação geométrica para resolver seus problemas. Com efeito, foi só em c. 1600 que Viète introduziu a Logistica Speciosa, ie o cálculo literal.
  Isso não foi feito pequeno, pois além de ter de romper com o quase sagrado paradigma grego que centrava toda a Matemática em torno da Geometria Euclidiana:
  

  • foi preciso um estudo exaustivo das regras de operação dos novos símbolos, o que foi feito por Viète, Descartes e seus seguidores 1590-1650.

  • foi preciso mostrar que as manipulações algébricas tinham o mesmo status lógico que os argumentos geométricos. Ou seja, que podíamos representar uma equação literalmente e, através de regras apropriadas, transformá-la sucessivamente até obter as características desejadas da incógnita.

  • foi também percebido que essa notação permitia fazer úteis generalizações como:
    1 + 2 + 3 + ... + n = n (n+1) / 2
    1² + 2² + 3² + ... + n² = n (n+1) (2n+1) / 6
    com as quais ficava fácil achar áreas pela versão grega do Cálculo Integral, ie pelo método da exaustão.

• Fermat

• Método dos Indivisíveis de Cavalieri

• Os Teoremas Fundamentais do Cálculo, de Barrow

• certamente não, pois que quando Newton e Leibniz começaram a trabalhar já tinham sido estabelecidos cerca de 1000 resultados de Cálculo Infinitesimal.

• de modo bastante simplificado, podemos dizer que:
  • Leibniz , em 1684, iniciou essencialmente o Cálculo Diferencial. Contudo, ao contrário do atual CD que é baseado na noção de derivada, o CD de Leibniz era baseado na noção de diferencial.
  • Newton foi o primeiro a usar sistemáticamente o Teorema Fundamental do Cálculo Integral , descoberto por Barrow, e demonstrou sua utilidade na descoberta de grande quantidade de resultados em Matemática e Física. Essas descobertas foram feitas entre 1666 e 1676, mas a maioria só foi publicada após 1700.

Click aqui para ver exemplos e mais detalhes sobre as idéias de Leibniz e Newton.

Durante o século dos 1 700, o CI muito desenvolveu-se, principalmente através das descobertas de Euler. O próprio Euler escreveu um livro de Cálculo Infinitesimal que ainda hoje vale a pena ser lido.
Mas esse desenvolvimento muitas vezes apelava para argumentos mais baseados na intuição do que na razâo lógica, e não raramente produzia resultados errôneos. O padrão científico desse Cálculo ainda era baixo.
Procurando impor um padrão de trabalho mais rigoroso, a Academia de Berlin em 1786, em comissão presidida por Lagrange, anunciou um concurso-desafio à comunidade matemática: ganharia um valioso prêmio quem fosse capaz de criar um formalismo rigoroso para o Cálculo.

O ganhador foi um matemático francês chamado L'Huilier. O formalismo que ele desenvolveu introduzia formalmente a noção e notação de limite e é, essencialmente, o que hoje chama-se de Cálculo baseado em épsilons e deltas.

O formalismo de L'Huilier foi propagandizado e desenvolvido por Cauchy em seus cursos na Escola Politécnica de Paris e , por isso, a quase totalidade das pessoas acha que é a ele devido.

Outras componentes do Cálculo Moderno, como a noção de integral de Riemann e os resultados básicos sobre sequências, foram produzidos pelos matemáticos alemães do final do século passado ( Weiertrass, Dedekind, Bolzano, etc).

Como uma espécie de reação a essas idéias, que entre outras coisas pretendiam expulsar os infinitésimos de todas as áreas do Cálculo, Paul Du Bois Raymond desenvolveu, no final do século passado, um formalismo perfeitamente rigoroso para os infinitésimos. O autor desta página tem, modestamente, como fontes de inspiração e orientação justamente Du Bois Raymond e seu maior divulgador, J. Bertrand, bem como o nosso brasileiro Lélio da Gama.