Função logaritmo


Um número excessivamente grande de colégios e livros ainda apresentam o logaritmo como um mero artifício de cálculo viabilizando o cálculo rápido de multiplicações e quocientes de números, explorando o fato que o logaritmo tem a propriedade de transformar multiplicações e quocientes em somas e diferenças. Embora ele tenha sido inventados com esse propósito, o surgimento das calculadoras científicas eletrônicas, em 1972, tornou essa utilidade do logaritmo um mero assunto de cursos de História da Matemática! Apesar disso, e devido a outras propriedades, o logaritmo continua sendo uma das mais importantes funções da Matemática.

No material que segue, como um passo inicial em direção do entendimento da real importância dos logaritmos na atualidade, examinaremos o seu significado.


Rápida recordação do conceito de logaritmo


Se pensarmos em base 10 :

Dizemos que a dezena, a centena, o milhar, e assim por diante ( ie que 10 , 100 , 1000 , etc ) tem ordem de grandeza respectivamente 1 , 2 , 3 , etc pois que podemos escrever 10 = 10 1 , 100 = 10 x 10 = 10 2, 1000 = 10 x 10 x 10 = 10 3, etc .

Dizemos que o décimo, o centésimo, o milésimo, e assim por diante ( ie que 0.1 , 0.01 , 0.001 , etc ) tem ordem de grandeza respectivamente -1 , -2 , -3 , etc pois que podemos escrever 0.1 = 1/10 = 10 -1, 0.01 = 1/100 = 1/10 x 1/10 = 10 -2, 0.001 = 1/1000 = 1/10 x 1/10 x 1/10 = 10 -3, etc.

Dizemos que 1 tem ordem de grandeza 0 , pois que 10 0 = 1

Dizemos que, em base 10, os demais números positivos tem ordem de grandeza fracionária, ie que os logaritmos dos demais números positivos são números fracionários. Com efeito, vejamos um exemplo:

qual a ordem de grandeza ( ou o logaritmo ) de 40?

E' fácil ver que tem de estar entre 1 e 2, pois que 10 < 40 < 100 . Melhor do que isso, se V. pegar sua calculadora, V. poderá facilmente obter a seguinte tabela:

10 1.0 = 10.0000
10 1.1 = 12.5892
10 1.2 = 15.8489
10 1.3 = 19.9526
10 1.4 = 25.1189
10 1.5 = 31.6228
10 1.6 = 39.8107
10 1.7 = 50.1187
10 1.8 = 63.0957
10 1.9 = 79.4328
10 2.0 =100.0000



Na tabela, V. pode ver que 10 1.6 < 40 < 10 1.7 , o que significa que o log de 40 está entre 1.6 e 1.7.
De um modo semelhante, V. pode ver que 10 1.60 < 40 < 10 1.61 , o que significa que o log de 40 está entre 1.60 e 1.61.

Se continuássemos ao infinito esse processo, poderíamos ver que o valor exato da ordem de grandeza de 40, ie do log 40, é

log 40 = 1.60205 99913 27962 ... .



Pode-se sintetizar toda a discussão acima dizendo-se que

se um número positivo x pode ser escrito como x = 10 y ,  então seu log ( em base 10 ) é  y.
Resumindo:

log ( x ) = log ( 10 y ) = y

E se pensarmos em outras bases?

logaritmo de comerciantes

Poderíamos, por exemplo, pensar num logaritmo de comerciantes. Eles contam em dúzias, grosas ( 12 x 12 = 144 ), etc. Então, o loc ( 40 ), ie o logaritmo de comerciante de 40, é o número y tal que 40 = 12 y,  y esse que indica a ordem de grandeza de 40 quando o expressamos ou o medimos em termos de potências de 12.

EXERCICIO
Imitando o que foi feito acima para o log em base 10, mostre que

loc ( 40 ) = 1.48451 42993 31386...



logaritmo da Informática

Acompanhando o matemático Claude Shannon, o pessoal da Informática prefere contar em potências de 2, ou seja, eles preferem usar logaritmo em base 2.
Como um exemplo, vejamos a seguinte tabela que dá as mais frequentemente usadas profundidades de cor associadas às respectivas quantidades de cores possíveis de representar numa tela ( monitor ) de computador:

número de cores profundidade de cor
16 4
256 8
65 536 16
16 777 216 24



EXERCICIO
Pede-se:
a).- explicar o conceito de profundidade de cor em termos de logaritmo
b).- monitores e placas de vídeo de uso profissionais são capazes de reproduzir 4 294 967 296 cores; achar a respectiva profundidade de cor

EXERCICIO
Como conclusão: conceitue log em uma base qualquer e relacione-o com a noção de ordem de grandeza.


Uma propriedade básica do log ( em qualquer base ):



Nas igualdades 10 = 101 , 100 = 102 , 1000 = 103 , etc os valores dos números crescem em progressão geométrica enquanto que os seus expoentes - ie seus logaritmos base 10 - crescem em progressão aritmética.

É fácil mostrar que vale a seguinte versão geral desse fato:

se os valores de uma variável x crescerem em PG os logaritmos ( em qualquer base ) de x crescerão em PA







versão: 26-maio-2 000
localize esta página em: http://athena.mat.ufrgs.br/~portosil/curlog.html
© J.F. Porto da Silveira ( portosil@mat.ufrgs.br )
permitida a reprodução, desde que com fins acadêmicos.