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A velocidade de crescimento logarítmico

O log é o mais simples e importante protótipo de função que cresce ao infinito lentamente.
No que segue, procuraremos explicar e demonstrar essa afirmação.

1. Iniciemos examinando o lento crescimento do log no infinito

Observe que, na tabela abaixo, fazemos x crescer ao infinito com enorme rapidêz e que mesmo assim é espantosamente lento o crecimento do log x , e mais lento ainda os do log ( log x ), log ( log ( log x ) ) , etc :

x
log x
log ( log x )
log ( log ( log x ))
10330.48-0.32
10101010
1030301.50.2
1010010020.3
103003002.50.4
101 0001 00030.5
101 000 0001 000 00060.8


Em verdade, se V. não esqueceu do real significado do log -- ou seja, que log x dá a ordem de grandeza de x e que log ( log x ) dá a ordem de grandeza da ( ordem de grandeza de x ), etc -- não pode ter ficado tão surpreendido com os resultados da tabela.


2. Outro modo de verificarmos o lento crescimento do log no infinito

Na prática, frequentemente, precisamos comparar a velocidade de crescimento de duas ou mais variáveis. Essas comparações tornam-se mais fáceis quando sabemos comparar a velocidade de crescimento de funções simples como as

y = x , y = x2 , y = x3 , y = x4 , etc, y = log x , y = ex.

OU SEJA, antes de mais nada, devemos saber comparar a velocidade de crescimento no infinito dos polinômios, do log e da exponencial.
O modo mais simples de compararmos o crescimento do logaritmo com o de y = x , y = x2 , y = x3 , y = x4, etc é estudar o crescimento no infinito dos quocientes:

( log x ) / x , ( log x ) / x 2 , ( log x ) / x 3 , etc.

Confira no quadro abaixo:

x
( log x ) / x
( log x ) / x 2
( log x ) / x 3
10 0.1 0.01 0.001
100 0.02 0.000 2 0.000 002
1 000 0.003 0.000 003 0.000 000 003
10 000 0.000 4 0.000 000 04 0.000 000 000 004
100 000 0.000 05 0.000 000 000 5 0.000 000 000 000 005


desse quadro, é fácil induzirmos que ( log x ) / x n tende a zero a medida que x vai para o infinito, ou seja:

ao x tender ao infinito,

o log x cresce ao infinito infinitamente mais lentamente do que qualquer x n

( onde n = 1 , 2 , 3 , 4 , etc )

É fácil provar rigorosamente a veracidade desse resultado e de sua versão mais geral:

ao x tender ao infinito:

( log x ) / x a tende para zero

( onde a é qualquer número real positivo ).


A partir do resultado acima é fácil mostrar que, ao x tender para o infinito, o log x cresce infinitamente mais lentamente do que qualquer função algébrica e, em particular, infinitamente mais lentamente do que qualquer polinômio de x.

Nenhum professor deve deixar de enfatizar que essa infinita lentidão no crescimento só pode ser obtida no mundo das funções transcencentes.

3. Aplicações do crescimento logarítmico

São inúmeras, apenas citaremos alguns exemplos:

  • Um dos usos mais comuns da relação entre o crescimento polinomial e o logarítmico está no traçado de gráficos de funções

  • outro uso comum reside no estudo da convergência dos processos infinitos básicos do Cálculo Infinitesimal: séries, integrais, etc

  • Na resolução computacional de problemas matemáticos ou científicos é importante sabermos se o volume dos cálculos, ou se o volume necessário para armazenar os dados dos mesmos, aumenta polinomialmente ou logarítmicamente com os parâmetros do problema ( exemplos de parâmetros de problema: o grau de uma equação, a ordem de uma matriz, etc )

  • Só para citar um exemplo mais concreto do item anterior:
    um dos mais importantes progressos da Matemática nos últimos 30 anos foi a descoberta do algoritmo FFT ( abreviação de Fast Fourier Transform ) , o qual - entre coisas - permitiu que reduzíssemos o tempo de resolução de uma série de problemas matemáticos envolvendo n2 operações para n log n operações.
    Vejamos um pouco de detalhes :
    Todo o mundo sabe que o método usual de multiplicação de números envolve aproximadamente n2 operações, quando aplicado para calcular o produto de dois números de n algarismos. Bem, se aplicarmos o método da FFT precisaremos realizar apenas n log n operações. A vantagem é enorme no caso em que a quantidade n de algarismos é grande, e muito maior no caso de muitos produtos desse tipo, o que é bastante comum ocorrer em problemas científicos e tecnológicos envolvendo sinais. Por exemplo, entre as aplicações viabilizadas pela FFT estão a tomografia computadorizada e um sem número de aplicações associadas ao tratamento de sinais, tanto na área biomédica como na Engenharia e Física.

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