NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA

A gênese do complexos

Durante dois mil anos a matemática cresceu sem se importar com o fato de que as raízes quadradas dos negativos não podiam ser calculadas.

Os gregos, não reconheciam os números negativos e nem precisavam deles, pois seu interesse estava na geometria e, para a descrição de quantidades como áreas e volumes, os números positivos eram suficientes.

Os números imaginários passaram por uma evolução semelhante. A impossibilidade de resolver a equação x² + a = 0 quando “a” é positivo era conhecida há séculos, mas as tentativas de superar as dificuldades demoraram a acontecer.

Foi apenas no século XIX que os matemáticos aceitaram e formalizaram estes números.

Os números complexos aparecem em muitos episódios da história da matemática. Um deles é um problema proposto em 275 d.C., pelo matemático Diophanto, em sua obra Arithmetica, que consistia em determinar os catetos x, y de um triângulo retângulo com área igual a 7 e perímetro igual a 12. Ao chegar a um raiz de número negativo, decidiu que o problema não tinha solução. Realmente, não existe um triângulo com estas medidas, mas é possível, hoje com os números complexos resolver o sistema de equações:



No século XVI, o matemático Girolamo Cardano considera o problema de dividir um segmento de comprimento 10 em duas partes, cujo produto destas partes seja igual a 40.



Ou seja, resolver a equação

x(10 - x) = 40

O que exige achar as raízes do polinômio

x² -10x = 40

as quais são: x =

Cardano chamou estas expressões de raízes sofísticas, pois para ele elas eram “tão sutis quanto inúteis”.

No século XVII, o matemáticoBombelli definiu

Bombelli determinou algumas regras de operações para trabalhar com :



Sobre a adição, enunciou a soma de dois números complexos:

Mais tarde, o matemático suíço Leonhard Euler, definiu
i = e o número complexo da forma z = a + bi.

A partir daí, números até então supostamente inexistentes, tornaram-se um objeto matemático.
Exemplos:



Em fins do século XVIII, Carl Friedrich Gauss, em sua tese de doutorado em matemática, mostra que toda a equação com coeficientes reais ou complexos tem, no campo complexo, pelo menos uma raiz (Teorema Fundamental da Álgebra).

Aplicando esta definição e fatorando um polinômio de grau n (escrevendo-o como um produto de polinômios de graus menores), Gauss mostra que as equações polinomiais de grau n têm exatamente n raízes.
Exemplos:
1. z² + 1 = 0, deve ter duas raízes complexas

2. z (z² + 1) = 0 ou seja z³ + z = 0 tem três soluções: z = 0,

3. x² + 2x + 2 = 0 tem duas soluções .

4. = 0, n natural, tem n raízes, todas iguais a zero. Em outras palavras, a raiz z = 0 tem multiplicidade n.

5. Analogamente = 1 tem n raízes.
Uma delas nós conhecemos .

Quais são as outras? Para responder, precisamos estudar a representação trigonométrica dos números complexos. Aguarde o próximo módulo.

Como podemos notar a história dos números complexos está fortemente relacionada aos polinômios, uma vez que a “invenção” deste novo conjunto numérico se deu através do estudo das soluções de determinadas equações polinomiais. Os números complexos também serviram como base para o estudo das raízes das equações polinomiais, resultando na demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra.

A representação algébrica do complexo


Um número complexo representa-se por z = a + bi com a, b R.
a é a parte real de z, Re(z) = a;
b é a parte imaginária de z, Im (z) = b.

 

O complexo z é um número real se e só se Im(z) = 0,
isto é: z = a + 0i = a.

O complexo z é um imaginário puro se e só se Re (z) = 0 e Im (z) 0,
isto é z = 0 + bi = bi.

O complexo z é nulo se e só se Re (z) = Im (z) = 0.

Exemplos:

z = 0 com Rez = 0 e Im z = 0

z = 1 com Rez = 1 e Im z = 0

z = 10i com Rez = 0 e Im z = 10

z = 1+2i com Rez = 1 e Im z = 2

z = 0,5 + i com Rez = 0,5 e Im z =

z = + i com Rez = e Im z =


Os números complexos apareceram como uma extensão dos números reais.

O seu conjunto representa-se por C e define-se como sendo
C = {z = a+ bi: a, b R e i² = -1}

R representa o conjunto dos números reais.



A representação geométrica do complexo


Os números complexos podem ser identificados com pares ordenados de números reais, e a representação gráfica consiste em identificar cada par ordenado (a, b) com um ponto do plano, cujas coordenadas retangulares são dadas por a e b.



Assim, a unidade imaginária i é simplesmente o par ordenado (0,1), que é algo que se pode visualizar no plano. Essa visualização foi fundamental para o progresso da teoria dos números complexos, do mesmo modo que, ocorreu com os números negativos, que só tornaram-se objetos de estudo quando num eixo orientado, assinalaram-se, para eles, representações gráficas à esquerda da origem.


A cada complexo z = a + bi, corresponde o ponto do plano P(a, b), que se designa por afixo de z. Pode-se, também, considerar o complexo z como o vetor OP, sendo O a origem do referencial.

Ao referencial com estas características dá-se o nome de Plano Complexo ou Plano de Argand-Gauss.

 


Igualdade de Números Complexos

Dados dois complexos z = a + bi e w = c + di tem-se:

 

z = w se e só se a = c e b = d

 


Módulo de um Número Complexo

Dado um complexo z = a + bi, o módulo de z é a distância do ponto P(a,b), correspondente a z, no plano complexo , à origem do plano.
O módulo de z, cujo símbolo é, |z| é obtido a partir da aplicação do Teorema de Pitágoras, sobre o triângulo retângulo cujos catetos medem “a” e “b”. O módulo de z é a medida da hipotenusa deste triângulo.



 

 


Simétrico de um Número Complexo

O simétrico do número complexo z = a + bi é o número -z = -(a + bi),
ou seja, -z = (-a) + i(-b).

Exemplo:

z = 0 com Rez = 0 e Im z = 0 e o simétrico de z é (–z) = 0

z = 1 com Rez = 1 e Im z = 0 e o simétrico de z é (–z) = -1

z = 1+2i com Rez = 1 e Im z = 2 e o simétrico de z é (–z) = -1-2i

z = 0,5 + i com Rez = 0,5 e Im z = e o simétrico de z é
(–z) = - 0,5 - i


Conjugado de um Número Complexo

O conjugado do complexo z = a + bi é denotado por = a - bi.

Exemplos:

z = 1+2i tem conjugado = 1 - 2i

z = 0,5 + i tem conjugado = 0,5 - i

A visualização das representações algébricas e geométricas dos complexos e das suas operações deve ser feita com auxílio deste aplicativo.

http://www.catedu.es/matematicas_blecua/index_ciencias.htm

Instruções de Uso

Ao entrar no site, você encontrará duas barrinhas horizontais na lateral esquerda:
Primero
Segundo

Presione em Primero.

Você vai encontrar um título em vermelho: Numeros complejos.

Pressione.

Você vai encontrar três importantes aplicativos para os números complexos.

1. Números complexos na forma binômica
z = a + bi

Neste tópico, você pode fazer variar os valores de a e b, num complexo z = a+ bi.

O aplicativo mostra a correspondente variação da representação geométrica de z e de seu conjugado.
Procure alguns complexos como exemplos importantes: z = 1; z = i; z = 1 + i.

2. Operações com complexos

Neste tópico, você pode visualizar no plano, o resultado das operações de dois complexos, dados na forma algébrica.

Observe que a adição corresponde a encontrar a diagonal do paralelogramo e que a multiplicação corresponde a uma rotação, um giro.

3. Potências de i

Neste tópico, você pode variar n para calcular e visualizar a variação da representação geométrica.
Verifique que só existem 4 diferentes valores para .


Quatro Operações com Complexos: extensão das operações com reais

Consideremos os números complexos = a+bi e = c+ di

 

Adição
Algebricamente, a soma é na forma: + = a + c + (b + d)i

 

Justificativa:
Basta aplicar as propriedades comutativa e associativa da adição e a propriedade distributiva da multiplicação com relação à adição:
(a + bi) + ( c + di) = a + c + bi + di = (a + c) + ( b + d ) i

Exemplo:

(1 + 3i) + (-5 + 0,4 i) = = -4 + 3,4 i

Subtração
A subtração de por não é mais que a soma de com o simétrico de ,
ou seja, - = + (- ).

 

Justifica-se do mesmo modo que a adição.

Exemplo:

(1 + 3i) - (-5 + 0,4 i) = = 6 + 2,6 i

Multiplicação
1. Potências de i = :

De um modo geral, os valores das potências de i se repetem de 4 em 4,
assim podemos dizer que:

para n inteiro não negativo e para k = 1,2,3,...

 

 

2. O produto de por é o número complexo
. = (ac - bd) + (ad + cb)i

 

Justificativa:
Basta aplicar a propriedade distributiva entre os termos:
(a+bi) . (c+di), igualando i² = -1

Exemplos:

(1 + 3i) . (-5 + 0,4 i) = 1.(-5) + 3.0,4.i² + 3.(-5) i + 1. 0,4 i =
(-5 - 1,2) + (-15 + 0,4) i = -6,2 – 14,6 i

 

Divisão
1. Inverso de um Número Complexo
Sendo z = a + bi com a e b não nulos, o seu inverso é

 

Justificativa
Partimos de z = a+bi.
Por extensão das propriedades dos números reais, podemos representar como mm

m

Mas nada sabemos sobre o significado deste símbolo:



Precisamos então transformá-lo na expressão padrão para complexos:

Re(1/z) + i Im(1/z).

Para descobrir a parte real e a parte imaginária, recorremos ao que sabemos sobre produtos notáveis:

(a + bi)(a - bi) = (a² + b²) (Verifique!)

Isto é: z. = |z|²

Multiplicando e dividindo o novo número desconhecido



no numerador e no denominador, obtemos um número complexo na forma algébrica padrão:





 

 

Exemplos:

 

O quociente entre e é
o produto de pelo inverso de , ou seja,

 


Tomemos dois complexos da forma = a + bi e = c + di
Vejamos que para obter
,
basta multiplicar por 1/



Exemplos

(2+3i) / (1-2i) = (2+3i) . 1/(1-2i) = (2+3i) . (1 + 2i)/ 5 = (-4 + 7i) / 5

Todas as propriedades¹ válidas para os números reais permanecem válidas no conjunto dos complexos.
Desta forma, os complexos também constituem uma estrutura de CORPO, com as operações de + e x.



Bibliografia:
Números Complexos, uma abordagem científica extraído do site
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euler/numeroscomplexos.htm#Representação%20Trigonométrica

LIMA, Elon Lages, CARVALHO, Paulo Cezar Pinto de, MORGADO, Eduardo César. A matemática do ensino médio. Rio de Janeiro: SBM,2001.

ROSA, M. S. Números Complexos: Uma Abordagem Histórica. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 1998. Disponível em http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao_mario_servelli_rosa.pdf

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Nota Final
¹ Se você quiser conhecer outras propriedades dos complexos, consulte o texto
Propriedades dos complexos.