NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA

Na representação trigonométrica, um número complexo z = a + bi é determinado pelo módulo do vetor que o representa e pelo ângulo que faz com o semi-eixo positivo das abscissas.



Vetor é uma entidade matemática que define grandezas que se caracterizam por módulo, direção e sentido, como por exemplo, velocidade e força.

Um vetor é representado por um segmento de reta orientado. O módulo é expresso pelo comprimento do segmento, a direção é dada pelo ângulo entre a reta suporte e a horizontal, o sentido é dado pela seta.

Denomina-se de afixo do complexo z = a + bi o ponto de coordenadas (a, b) no plano complexo, denominado plano de Argand-Gauss.

Quando z = a+bi:

1) Argumento de z é o ângulo ;

2) Módulo de z é o comprimento .

O argumento geral de z, é ou ; o argumento principal é o valor de no intervalo ou

A partir das relações trigonométricas¹ obtêm-se:



Portanto:

Para o complexo z = a + bi


A representação trigonométrica² de um complexo z é
, com o argumento principal
= arg(z) e r =
Ou é com o argumento geral
+ k360°
Esta última expressão é importante para o cálculo das raízes de z.
Da relação tg = b/a consegue-se o valor de .

 

 

APLICATIVO 1

Este aplicativo é em português e permite a visualização de diferentes exemplos para a transformação de complexos da forma algébrica para a trigonométrica e vice versa. É essencial para o entendimento.
http://www.drec.min-edu.pt/Eviprof/resources/school7/files/trab2/complejos4.htm

 


Exemplos:

1. Se z é um número real, o ponto P pertence à reta das abscissas (horizontal) e |z| = 1

Isto é: = 0+ k360° e |z| =1

z = 1 na forma trigonométrica é z = cos k360°+ i sen k360°, com k inteiro.

Isto quer dizer que existem muitas representações trigonométricas para z, correspondentes a giros dados em torno da origem.

Neste caso, z = 1 pode ser representado por:

z = cos 0°+ i sen 0°

z = cos 360°+ i sen 360°

z = cos 720°+ i sen 720°

z = cos 1080°+ i sen 1080°
etc.

2. Se z é um número imaginário, o ponto P pertence à reta das ordenadas (vertical) e |z| = 1
Isto é: = 90°+ k360° e |z| = 1
z = i na forma trigonométrica é z = (cos (90°+k360°)+ i sen (90° +k360°)) com k inteiro.



Na figura, OP representa um vetor e pode ser identificado com um número complexo z.


3 . O complexo z = 1 + i é representado na figura abaixo com:
a=1 e b=1 logo tg = b/a = 1



Então = 45°

Este valor corresponde à menor determinação de : -180°< < 180°

De uma forma geral = 45° + k360° , onde k é qualquer número inteiro (positivo, negativo ou nulo) ou seja, o mesmo ângulo é obtido a partir de um número inteiro de voltas em torno da origem O. Cada volta corresponde a 360°.

O módulo r =
z = 1+i = r (cos + i sen ) = ( cos 45º+ i sen 45°)

Esta forma corresponde à menor determinação para .

Igualdade de Números Complexos

Dados dois complexos z = a + i b e w = c + i d tem-se:

z = r (cos ( + k.360°)+ i sen ( + k.360°))
w = r’ (cos ( + k.360°)+ isen ( + k.360°))


z = w rcos = r’cos e rsen = r’sen r = r’ e = + k.360°

 


Observe que a igualdade exige que r = r’ mas não exige que = , mas, sim, que os vetores coincidam, na mesma direção, módulo e sentido.

Simétrico de um Número Complexo

O simétrico do número complexo z = a + ib é o número -z = - (a + ib), ou seja,
-z = (-a) + i(-b).

Corresponde a uma rotação de 180º do afixo de z em torno da origem.

Em notação trigonométrica:

 

z = r (cos + i sen) e (- z) = r (cos( - 180º)+ i sen ( -180°))

 





Exemplo:



Conjugado de um Número Complexo

O conjugado do complexo z = a + ib é o número complexo denotado por
z = a - ib.


Na forma trigonométrica, o conjugado de z = r (cos+ i sen) é
= r (cos (-)+ i sen (-))

 

Corresponde a uma reflexão do afixo de z na reta das abcissas



Exemplo:


Inverso de um número complexo


Observe que:

 

 


Exemplo:



APLICATIVO 2

É importante que você visualize as representações de números complexos e de seus inversos .
O seguinte aplicativo é essencial para isto: http://www.ies.co.jp/math/java/comp/cgyak_a/cgyak_a.html

 


Produto de complexos

Seja z = r (cos+ i sen) e w = r’ (cos+ i sen)

Vejamos a interpretação geométrica do produto de dois complexos,

Caso 1: O produto de um complexo z por um número real K


K.z = Kr (cos + i sen)
não se altera e r se altera com a multiplicação por K.

 


Se K > 1, então esta operação corresponde a uma ampliação vetor z .

Se 0 < K < 1, esta operação corresponde a uma contração do vetor z.

Se K < 0, esta operação corresponde a uma ampliação ou contração, seguida de uma rotação de 180º, pois z passará para a semi-reta oposta, que contém (-z).

Exemplo:



Caso 2: O produto de um complexo z = a + bi por um imaginário puro.



É preciso, neste momento, relembrar a expressão trigonométrica para seno e cosseno da soma de arcos (ou ângulos)³ :



Logo



Voltando



O produto do complexo z por um imaginário puro corresponde a uma ampliação ou contração do vetor, seguido de uma rotação de 90º no sentido anti-horário em torno da origem do vetor obtido.

 


Estas operações podem ser facilmente visualizadas na figura seguinte:



Caso 3: O produto de um complexo genérico z por outro complexo w

 


O produto do complexo z por outro complexo w corresponde a uma ampliação ou contração do vetor, seguido de uma rotação de ângulo igual ao argumento de w () no sentido anti-horário em torno da origem do vetor obtido.

 


Observe, na figura: o vetor tem módulo r e argumento :

Ao ser multiplicado por outro vetor com ângulo , ele gira, sofre uma rotação de ângulo :


Potenciação com expoente inteiro

Vamos nos restringir à potências com expoente inteiro, embora, nos complexos seja possível definir potência com base e expoente complexo.

Chamamos potenciação a uma potência de expoente inteiro.



z = r (cos + i sen)

Como o produto de dois complexos corresponde à soma dos argumentos, temos:

z² = r²(cos (2)+ i sen (2))

z³ = r³(cos (3)+ i sen (3))

A demonstração da Fórmula de Moivre pode ser vista na Apresentaçao: potênciação e radiciação


APLICATIVO 3

http://www.drec.min-edu.pt/Eviprof/resources/school7/files/trab2/complejos5.htm

Este aplicativo é em português e permite a visualização da multiplicação de números complexos.

z = r (cos+ i sen) = r cis ()

A expressão com seno e cosseno é abreviada para outra mais simples:

(cos+ i sen) = cis ()


 

APLICATIVO 4

http://www.drec.min-edu.pt/Eviprof/resources/school7/files/trab2/complejos6.htm

Este aplicativo é em português e permite a visualização de diferentes exemplos de potências e raízes de complexos na forma trigonométrica.

Radiciação

Definição:

 

Dado z, complexo, chamamos raiz n-ésima de z, a todo w complexo tal que

 

Exemplos:


A pergunta então é: quantas são as raízes enésimas de um número complexo
e como podemos determiná-las ?

 


Pelo Teorema Fundamental da Álgebra,a equação complexa com z e w complexos, tem n raízes.
Isto significa que a raiz n-ésima de um complexo, tem n raízes

 

Sendo z = r (cos+ i sen) as raízes índice n de z são dadas pela fórmula de de Moivre.

Na Apresentação: Potenciação e Radiciação, você encontra a demonstração.


z tem n raízes diferentes,obtidas pela fórmula de Moivre para a radiciação:

Neste curso vamos investigar apenas as raízes da unidade, isto é as, soluções da equação complexa:

 


Veja o exemplo da equação na Apresentação: Raízes da Unidade


APLICATIVO 5

É essencial que você manipule este aplicativo. Com ele, toda esta “complicação” algébrica vai ficar clara:

http://www.drec.min-edu.pt/Eviprof/resources/school7/files/trab2/complejos7.htm

Este aplicativo é em português e permite a visualização das n-ésimas raízes de um complexo. Nosso objetivo é apenas calcular e visualizar as raízes de UM, verificando que elas completam os vértices de um polígono regular de n lados.

Instruções de uso

Focalize o segundo aplicativo.

Aumente o zoom para 50 de modo que o complexo 1 fique bem visível.

Estabeleça os dados para 1: r = 1 e A = 0 ( A neste aplicativo representa o argumento .)

Faça variar n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.

Observe as raízes de 1 e os polígonos que ali se formam.




APLICATIVO 6

 

Neste aplicativo, você pode visualizar a potenciação e a fórmula de Moivre.

Pode dar valores positivos e negativos para n, vendo as potências


http://www.ies.co.jp/math/java/comp/cgyak_d/cgyak_d.html

Instruções de Uso

How to use this applet

Drag red point.----------Ponha o cursor no ponto vermelho

Você pode mover com o ponto vermelho, variando os valores de r e de t .
A letra t representa o argumento de z e r o módulo de z

Check "Show additional line".--- Peça para mostrar linhas adicionais, para ver polígonos. Pressione Additional Line

• Check "Expression of function" --- Pressione o botão "Expression of function"

Para escolher a expressão trigonométrica desejada escolha a expressão trigonométrica usual: z = r (cos+ i sen)
Ou a expressão ( r cis).

A primeira é mais comum.

Veja o que está dito em Expression of Function

Press "Increase n" button. ---------Pressione no botão Increase n, para aumentar n

Press "Decrease n" button.----- Pressione no botão Decrease n, para diminuir n

Sugestão

Observe o que o corre quando você fixa z com módulo maior do que 1 e deixa correr n, crescendo e depois decrescendo.

Faça o mesmo para o módulo menor do que 1.

 

Este texto foi baseado em:
Números Complexos, uma Abordagem Científica extraído do site http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euler/numeroscomplexos.htm#Representação%20Trigonométrica

CARMO, Manfredo; MORGADO, Augusto; WAGNER, Eduardo. Trigonometria e Números Complexos. Publicação SBM, 2001, 122 p.



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Notas Finais

¹ Se você quiser relembrar as relações trigonométrica, assista:
http://www.youtube.com/watch?v=FZLXujO3yw8
http://www.youtube.com/watch?v=YRt4Ni73954&NR=1

² Se você quiser saber mais sobre a representação trigonométrica de um complexo, veja:
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigo03.htm

³ Se você quiser verificar as justificativas destas expressões, veja em:
http://criar.no.sapo.pt/sen_cos.html