NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA

Na representação trigonométrica, um número complexo z = a + bi é determinado pelo módulo do vetor que o representa e pelo ângulo que faz com o semi-eixo positivo das abscissas.

Vetor é uma entidade matemática que define grandezas que se caracterizam por módulo, direção e sentido, como por exemplo, velocidade e força.

Um vetor é representado por um segmento de reta orientado. O módulo é expresso pelo comprimento do segmento, a direção é dada pelo ângulo entre a reta suporte e a horizontal, o sentido é dado pela seta.

Denomina-se de afixo do complexo z = a + bi o ponto de coordenadas (a, b) no plano complexo, denominado plano de Argand-Gauss.

Quando z = a+bi:

A partir das relações trigonométricas¹ obtêm-se:

Exemplos:

1. Se z é um número real, o ponto P pertence à reta das abscissas (horizontal) e |z| = 1

Isto é: = 0+ k360° e |z| =1

z = 1 na forma trigonométrica é z = cos k360°+ i sen k360°, com k inteiro.

Isto quer dizer que existem muitas representações trigonométricas para z, correspondentes a giros dados em torno da origem.

Neste caso, z = 1 pode ser representado por:

z = cos 0°+ i sen 0°

z = cos 360°+ i sen 360°

z = cos 720°+ i sen 720°

z = cos 1080°+ i sen 1080°
etc.

2. Se z é um número imaginário, o ponto P pertence à reta das ordenadas (vertical) e |z| = 1
Isto é: = 90°+ k360° e |z| = 1
z = i na forma trigonométrica é z = (cos (90°+k360°)+ i sen (90° +k360°)) com k inteiro.



Na figura, OP representa um vetor e pode ser identificado com um número complexo z.


3 . O complexo z = 1 + i é representado na figura abaixo com:
a=1 e b=1 logo tg = b/a = 1

Então = 45°

Este valor corresponde à menor determinação de : -180°< < 180°

De uma forma geral = 45° + k360° , onde k é qualquer número inteiro (positivo, negativo ou nulo) ou seja, o mesmo ângulo é obtido a partir de um número inteiro de voltas em torno da origem O. Cada volta corresponde a 360°.

O módulo r =
z = 1+i = r (cos + i sen ) = ( cos 45º+ i sen 45°)

Esta forma corresponde à menor determinação para .

Igualdade de Números Complexos

Dados dois complexos z = a + i b e w = c + i d tem-se:

z = r (cos ( + k.360°)+ i sen ( + k.360°))
w = r’ (cos ( + k.360°)+ isen ( + k.360°))

Observe que a igualdade exige que r = r’ mas não exige que = , mas, sim, que os vetores coincidam, na mesma direção, módulo e sentido.

Simétrico de um Número Complexo

O simétrico do número complexo z = a + ib é o número -z = - (a + ib), ou seja,
-z = (-a) + i(-b).

Corresponde a uma rotação de 180º do afixo de z em torno da origem.

Em notação trigonométrica:

Exemplo:

Conjugado de um Número Complexo

O conjugado do complexo z = a + ib é o número complexo denotado por

z = a - ib.

Corresponde a uma reflexão do afixo de z na reta das abcissas



Exemplo:

Inverso de um número complexo


Observe que:

Exemplo:

Produto de complexos

Seja z = r (cos+ i sen) e w = r’ (cos+ i sen)

Vejamos a interpretação geométrica do produto de dois complexos,

Caso 1: O produto de um complexo z por um número real K

Se K > 1, então esta operação corresponde a uma ampliação vetor z .

Se 0 < K < 1, esta operação corresponde a uma contração do vetor z.

Se K < 0, esta operação corresponde a uma ampliação ou contração, seguida de uma rotação de 180º, pois z passará para a semi-reta oposta, que contém (-z).

Exemplo:



Caso 2: O produto de um complexo z = a + bi por um imaginário puro.



É preciso, neste momento, relembrar a expressão trigonométrica para seno e cosseno da soma de arcos (ou ângulos)³ :



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