PROVAS NA MATEMÁTICA
As provas empregam lógica mas usualmente incluem
alguma quantidade de linguagem natural, o que obviamente admite ambigüidade.
De fato, a forma como a grande maioria das provas na matemática
é ensinada pode ser considerada como aplicações da
lógica informal, mas uma afirmação só deixa
de ser considerada uma conjectura após ter uma demonstração
escrita usando lógica formal nos trechos onde pode haver ambiguidades.
Na matemática, um resultado provado é um teorema; em uma
prova completamente formal isto seria o ponto final, e a prova completa
mostra como o resultado segue apenas dos axiomas. Uma vez o teorema provado,
ele pode ser usado como base para provar outros enunciados. As chamadas
fundações da matemática são aqueles enunciados
que não se pode, ou não é necessário, provar:
os objetos primitivos. Estes foram uma vez o estudo primário dos
filósofos da matemática. Hoje o foco é mais na prática
matemática, isto é, técnicas aceitáveis.
Técnicas de Prova Comuns
A existência de um número infindável de casos –
exemplos - que verifique certas condições não constitui
prova.
Existem diferentes tipos de prova:
• Prova direta: a conclusão é estabelecida através
da combinação lógica dos axiomas, definições
e teoremas já existentes.
• Prova por indução: um caso base é provado
e uma regra de indução é usada para provar uma série
de outros casos (normalmente infinita).
• Prova por contradição (também conhecida como
reductio ad absurdum): é mostrado que se algum enunciado fosse
verdadeiro, ocorreria uma contradição lógica, e portanto
o enunciado deve ser falso.
• Prova por construção: consiste em constuir um exemplo
concreto com determinada propriedade para mostrar que existe algo com
tal propriedade.
• Prova por exaustão: a conclusão é estabelecida
dividindo o problema em um número finito de casos e provando cada
um separadamente.
Prova direta é é uma forma de mostrar que certa afirmação
é falsa ou verdadeira através de uma combinação
de axiomas, lemas e teoremas já estabelecidos. Em cada passo, usa-se
implicação "Se p, então q" com p sendo
verdadeiro.
Prova por contradição (ou redução ao absurdo,
do latim reductio ad absurdum) é um método de prova matemática
indireta, não-construtiva. Este tipo de prova é feito assumindo-se
como verdade o contrário do que queremos provar e então
chegando-se a uma contradição.
A prova por contradição é muito usada em teoremas
de existência. Neste caso, é usada para provar a existência
de um elemento com determinada característica, sem no entanto mostrar
tal elemento. Por esta razão, alguns matemáticos a evitam
quando possível, preferindo métodos de prova construtivos.
Em matemática, ou ainda na filosofia, uma demonstração
ou prova construtiva é uma demonstração da existência
de certo objeto matemático através da sua construção.
Uma demonstração construtiva fornece um algoritmo para obter
o objeto em questão. e não pode ser baseada em mostrar a
impossibilidade da inexistência.
Este texto foi adaptado do site:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Prova_por_constru%C3%A7%C3%A3o
