Nesta oficina, queremos trabalhar os aspectos mais relevantes envolvendo a resolução algébrica de desigualdades (ou inequações) . Importantes tarefas como traçado de gráficos, por exemplo, requerem que seja determinado previamente o conjunto de valores admissíveis para uma variável independente, que é o chamado domínio natural, no contexto de funções de uma variável real.Primeiro exemplo: considere variáveis x e y relacionadas por
. Para ser um valor admissível para x, isto é para estar no domínio da função que determina y para valores x dados, x deve satisfazer
e assim concluímos que
determina o domínio ao qual x deve pertencer, uma vez que ou o numerador é nulo ou tem o mesmo sinal do denominador, que não pode ser nulo.
Segundo exemplo: considere variáveis x e y relacionadas por
. Temos aqui uma função (ainda vagamente definida) que associa um valor x a um valor y que satisfaz a equação anterior, mas não temos uma expressão analítica. Para um valor de
dado, a determinação de
corresponde a solução de uma equação do segundo grau (em
). Assim, para a existência de raizes reais, e necessário que
, ou seja, que
, o que então determina uma restrição para os valores de
.
Sobre as regras mais essenciais para a manipulação de desigualdades, lembramos que são assunto da Escola Básica, e indicamos recursos aqui; aqui e aqui.
A classificação a seguir norteará o desenvolvimento dessa oficina.
- Caso 1 (E1): desigualdades do primeiro grau.
- Caso 2 (E2): desigualdades do segundo grau.
- Caso geral com termos fracionários: usamos análise de sinais.
- Teste seus conhecimentos sobre esta oficina. Exercícios caso E1 aqui, caso E2 aqui.
Caso 1 - desigualdades do primeiro grau.
Podem ser reduzidas aou
onde
pode ser negativo. São as que tem solução mais simples.
(A): resolver a desigualdade
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e assim
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Caso 2 - desigualdades do segundo grau.
Em muitas situações, a desigualdade é manipulada até obter-se uma inequação do segundo grau, que pode ser reduzida a
ou
, onde
pode ser negativo. A solução então emprega fatos sobre o sinal de parábolas :
Veja os dois desenvolvimentos abaixo.
- (i) caso não existam raízes reais, então o sinal é constante e basta avalia-lo em algum ponto para descobri-lo;
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- (ii) senão, se a parábola volta-se para cima, anula-se nas raízes, é negativa entre elas, e positiva no resto da reta real;
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- (iii) senão, se a parábola volta-se para baixo, anula-se nas raízes, é positiva entre elas, e negativa no resto da reta real.
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(B): resolver a desigualdade![]()
Calculamos
. Trata-se de uma parabola voltada para cima que possui 2 raizes reais. Portanto assume valores negativo a esquerda da menor raiz e a direita da maior. Segue
.
(C)
e a equação do segundo grau tem raízes:
e
e portanto
determina o domínio ao qual x deve pertencer.
Caso 3 - desigualdades cuja solução passa por análise de sinais.
Uma estratégia mais complexa, mas que, com o devido cuidado, sempre funciona, consiste em escrever a desigualdade colocando todos os termos em um único lado, dessa forma comparando com zero uma expressão da forma, mas tal que os termos
e
possam ser escritos como produto de termos simples, isto é fatorados. Uma vez que todos os fatores forem determinados, podemos determinar a resposta da desigualdade combinando as réguas de sinal de todos os termos envolvidos, como nos exemplos que seguem.
(D) Para determinar o domínio da função:
e precisamos analisar e combinar as réguas de sinais dos fatores
e
, construindo a régua de sinais de
:
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e entãoou ainda
.
(E)
e então, para tornar a análise mais simples, tornamos positivos os termos de mais alto grau (numerador e denominador):
e como o numerador tem raízes
e
e o denominador é simples, escrevemos
e construímos
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e assim.
(F): resolver a desigualdade
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como o denominador é positivo, é equivalente a
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(G): resolver a desigualdade
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como o numerador é positivo, é equivalente a
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(H): resolver a desigualdade
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e então concluímos
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após analisar
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JBC, 03/03/2015, 30/7/2015, 16/9/2017