RADICIAÇÃO, POTENCIAÇÃO, LOGARITMAÇÃO


Potência

POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO E LOGARITMAÇÂO NOS NÚMEROS REAIS


Potenciação¹


Neste texto, ao classificarmos diferentes casos de potenciação, vamos sempre supor indeterminação.


Caso 1: Expoente inteiro n positivo e (-n) negativo

Condições: x real e n inteiro


Todas as propriedades que já foram demonstradas para bases inteiras ou racionais continuam válidas.


Justificativa



Exemplos:

Radiciação

Condições: x real e n inteiro
x >0 e n>0


Caso 2: Expoente racional m/n positivo ou negativo

Condições: x real e m/n racional
x >0 e m/n >0

 

As propriedades já demonstradas continuam válidas e são estendidas para números reais.

Exemplos:

Observamos que, neste caso, as potências com base racional e expoente racional produzem números irracionais.

Caso 3: Expoente real qualquer.

Condições: x real e y real

- se x e y são racionais y =m/n, repete caso 2
racionais.


Estamos interessados em definir potências cujo expoente é irracional, como por exemplo
1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; .....

Este número é irracional e só pode ser expresso como uma aproximação por racionais.


1,41 = 141/100 = 1 + 41/100


É um número irracional, real, positivo e só podemos ter uma aproximação decimal,
Sabemos que você não conhece a definição formal de “limite de seqüências”.

Neste momento do curso, queremos apenas que você aceite a idéia de que todas as operações sobre irracionais podem ser efetuadas, mas são efetuadas por aproximação porque estamos usando seqüências de racionais que se aproximam do número. O número de casas decimais utilizadas no número irracional significa que estamos selecionando elementos mais ou menos próximos, da seqüência que se acumula sobre nosso irracional.

Exemplos:

Neste tipo de cálculo, usamos a calculadora e aproximações decimais. Nestes exemplos, 2 ou 3 casas depois da vírgula.

Caso 4: Base real negativa

É preciso investigar o caso das potências com base real negativa.

Já vimos que para bases positivas, racionais ou reais, a potência pode sempre ser definida, para qualquer expoente real não nulo.

O que ocorre com a base negativa?

Não há problemas, se o expoente for inteiro:

(-2)³ = (-2)(-2)(-2).


(todo real elevado ao quadrado resulta em número positivo e (-4) é negativo).


Mas há um problema, que surge da equivalência de frações. Sabemos que

Ou seja, uma potência com expoente racional de um número negativo não pode ser definida.

Devido a este fato, todas as definições anteriores indicam a escolha da base como número real positivo.

Contra-exemplos:


Operações com Radicais


As operações com radicais ficam mais claras, quando os representamos por potências:

Multiplicação


1. Radicais com mesma base e expoentes diferentes. Transformam-se em potências de mesma base. Mantém a base e soma os expoentes:



Exemplo :



Vale para a divisão



2. Radicais com mesmo expoente e bases diferentes. Transformam-se em potências de mesmo expoente. Multiplica as bases e mantém o expoente.



Vale para divisão



Veja o exemplo para bases iguais e expoentes também iguais:


Ou

Adição e subtração


É impossível aplicar regra semelhante na adição



Só é possível adicionar e subtrair radicais com bases iguais e expoentes iguais.

Logaritimação²


Exemplos:


Como a definição exige que a base seja positiva, não existe número real correspondente a logaritmo negativo.

Procure o Texto Logaritmos e estude mais sobre o assunto.

Conseqüência deste estudo, percebe-se a insuficiência do campo dos reais para dar significado a diferentes símbolos:

Existem simbolos formados com números reais, utilizando as operações de potenciação, radiciação e logaritmação que não correspondem a números reais.

Os números reais são insuficientes para dar sentido a símbolos como estes:

Estes símbolos terão significado no campo dos números complexos.

________________________________________________________________________

Notas Finais

¹Se você quiser relembrar potenciação e resumir este assunto, veja os vídeos:
http://www.youtube.com/watch?v=3y6S_36eW8g&NR=1
http://www.youtube.com/watch?v=90xhMs2pELQ

²Se você quiser relembrar e resumir este assunto, veja os vídeos:
http://www.youtube.com/watch?v=ELy7nXpgYYw&feature=channel
http://www.youtube.com/watch?v=ca18qhF71N8&feature=related

____________________________________________________________________________________