Construindo uma "caixa-preta"
Nesta página mostraremos como construir a "caixa-preta" abaixo:
Para esta construção seguiremos o seguinte roteiro:
1) Construção de uma "macro bissetriz" que produzirá a bissetriz de um ângulo.
2) Construção da figura acima com a utilização da macro "bissetriz" e definição dos parâmetros da "macro caixa-preta".
Para utilizar a macro caixa-preta basta abrir um novo arquivo, desenhar um paralelogramo, carregar a macro e rodá-la sobre o paralelogramo desenhado. A pessoa que interagir com o objeto resultante na tela não terá acesso a sua construção, que estará 'escondida'.
Demonstração do teorema da caixa-preta:
Hipóteses: O quadrilátero azul é um paralelogramo, as retas b1, b2, b3 e b4 são bissetrizes dos ângulos A, B, C e D respectivamente.
Tese: O quadrilátero vermelho é um retângulo.
Como em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer são congruentes, temos então os ângulos A e C são congruentes, assim como os ângulos B e D.
As retas b1, b2, b3 e b4 são as bissetrizes dos ângulos A, B, C e D, logo, como podemos ver na figura acima temos congruência nos ângulos aos quais foram dados os mesmos nomes.
Os ângulos que estão pintados de vermelho também são congruentes pois são ângulos opostos pelo vértice.
Agora basta mostrar que o ângulo ô (vermelho) tem 90º que teremos comprovada nossa tese.
Sabemos que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º, logo:
E sabemos também que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, então no triângulo 1 temos:
Mas:
Então:
Analogamente para o triângulo 2.
Observando o triângulo 3 vemos que os ângulos internos correspondentes ao lado azul do deste triângulo são também â e ê pois retas paralelas distintas e uma transversal determinam ângulos alternos congruentes. Logo o ângulo que falta ser determinado no triângulo 3 é igual ao ângulo ô, ou seja, mede 90º.
Analogamente
pata o triângulo 4.
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