sendo convencionado que os parâmetros a, b e c são todos positivos. O parâmetro c tem uma imediata identificação geométrica, pois os dois pontos (0, 0, ± c) são os vértices do hiperbolóide elíptico de duas folhas; além disto, são os únicos pontos de corte deste hiperbolóide com os eixos coordenados. Para ver isto, tomamos z = 0 na equação-padrão acima e obtemos ![]() ![]() ![]()
Os cortes do hiperbolóide elíptico de duas folhas
com os planos coordenados verticais são as
hipérboles que aparecem nas cores verde e azul nas figuras
ao lado; à esquerda temos as duas hipérboles no
hiperbolóide elíptico de duas folhas transparente e
à direita aparecem (partes d)estas curvas no mesmo
hiperbolóide elíptico de duas folhas, agora pintado
de marrom. Estas hipérboles, de equações
![]() ![]() Convém observar que o que é exibido nestas figuras é só uma parte do hiperbolóide elíptico de duas folhas, que se estende indefinidamente em todos os seis sentidos do espaço tridimensional; como ocorre com a hipérbole, no entanto, basta entender o comportamento do hiperbolóide na vizinhança da origem, pois o resto é bastante previsível. Também observamos que tomando a = b na equação-padrão, obtemos um hiperbolóide circular de duas folhas , que sempre é uma superfície de revolução. ![]() Os cortes do hiperbolóide elíptico de duas folhas com qualquer plano vertical paralelo a um dos planos coordenados x z ou y z sempre produz uma hipérbole, de equação ![]() ![]() ![]() O hiperbolóide elíptico de duas folhas nunca é o gráfico de uma função real de duas variáveis reais; no entanto, como sempre ocorrem dois cortes por retas verticais, podemos separá-lo em dois gráficos, dados pelas duas funções ![]() Concluímos esta visualização do hiperbolóide elíptico de duas folhas deixando-o girar livremente em torno da origem: |
elipsóide | quádricas | cone elíptico |