Em todo poliedro convexo, o número de arestas mais dois é igual à soma do número de faces com o número de vértices.

# Um poliedro tem 6 faces triangulares, 4 faces pentagonais e 5 faces quadrangulares. Qual é o número de vértices, arestas e faces?

            6  faces triangulares,       18 lados
            4   faces pentagonais,      20 lados
            5   faces quadrangulares, 20 lados
          15   faces,  F = 15            58 : 2 =  29 arestas, A = 29

A  + 2 =   F + V
29 + 2 = 15 + V
        V = 31 - 15
        V = 16

Será que existe este poliedro?

#  V = 7 , A = 9 e F = 4,    A + 2 = F + V
                                           9 + 2 = 4 + 7
                                               11 = 11, satisfaz o Teorema de Euler.

          Um poliedro com quatro faces é um tetraedro. Mas o tetraedro tem 6 arestas e não 9, e 4 vértices e não 7. Então esse poliedro não existe.
 

# Hexaedro :  V = 8, A = 12              A = 12 =  3 ,  A =  3 V           A > V e A > F
                                                          V     8      2              2 

Se  A maior ou igual a 6, para que o poliedro convexo exista é necessário que além de satisfazer a relação de Euler ele tenha;

A+6 menor ou igual a  3F menor e igual 2A  e  A+6 menor ou igual a 3V menor ou igual 2A
 

Ex: A = 10 , F = ? e V = ? 10 + 6 menor ou igual a     3F  menor ou igual a 2.10     16   menor ou igual a     3F  menor ou igual a  20, F = 6 10 + 6 menor ou igual a     3V menor ou igual a  2.10     16   menor ou igual a     3V menor ou igual a  20, V = 6 A = 10, F = 6 e V = 6, pirâmide pentagonal.

      Este desafio foi extraído do livro  Olimpíadas  de Matemática do Estado do 
Rio de Janeiro , Atual Editora. Foi escolhido porque permite a abordagem de vários assuntos num mesmo problema : mediana, ponto médio, diâmetro, raio, todos temas de grande relevância em geometria.  Vamos então à questão:

AB é um diâmetro de um círculo de centro O. Toma-se um ponto C deste círculo e prolonga-se AC de um segmento CD igual a AC. O segmento OD corta o círculo no ponto E e corta o segmento BC no ponto F. Sabe-se que AB= a e OD = b. 
Quanto então mede o segmento EF ? 

A figura ao lado  mostra um pentágono regular inscrito numa circunferência de raio unitário. 
Determine a medida da área sombreada.

0bjetivos: Trabalhar com as relações trigonométricas do triângulo retângulo e com o conhecimento de área do triângulo retângulo e isósceles. 

Seis esferas idênticas de raio r encontram-se posicionadas no espaço de tal forma que cada uma delas seja tangente a quatro esferas. Imagine estas esferas dentro de uma caixa cúbica. 
Determine a aresta do cubo cujas faces tangenciam todas as esferas. 

Nota: Dados dois pontos A e B no espaço, o plano mediador de A e B é o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias a A e B são iguais. Em outras palavras: é o plano perpendicular ao segmento AB passando pelo ponto médio de AB.

Desafio extraído do site www.desafios.he.com.br.

Como isto é possível???
 

	Observe o quebra-cabeça ao lado
	Com as mesmas partes constrói-se uma figura que lembra a de cima

A partir dos três círculos dados, obtenha um quarto que tangencie os três ao mesmo tempo. Quantas soluções diferentes existem? 
 
 

Determine o número de sólidos que podem se acomodados no interior da esfera, onde são prismas regulares do mesmo tamanho de bases hexagonais, de altura "a", e altura do prisma "a" de acordo com a figura ao lado.

Dica: o raio aproximado da esfera é "7a", os primas azuis têm bases que pertencem à superfície do plano que secciona a esfera no seu maior diâmetro, dividindo-a em dois hemisférios; os prismas amarelos têm um sólido seccionado ao meio paralelamente às suas bases.